f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta
função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que
a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma
equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do
segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.
O sinal do coeficiente do termo dominante
O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial
indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a
concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para
baixo.Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|
f(x) | -6 | -3 | -2 | -3 | -6 |
Relacionamento entre o discriminante e a concavidade
Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante
com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.Delta | A parábola no plano cartesiano | a>0 concavidade (boca) para cima | a<0 concavidade (boca) para baixo |
---|---|---|---|
D > 0 | Corta o eixo horizontal em 2 pontos | ||
D = 0 | Toca em 1 ponto do eixo horizontal | ||
D < 0 | Não corta o eixo horizontal |
- f(x) = x²-3x-4
- f(x) = -3x²+5x-8
- f(x) = 4x²-4x+1
Máximos e mínimos com funções quadráticas
Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.
Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy, mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:
A(x) = x(18-x)
Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de
máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto
de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um
retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será
A=81m²